[고1 수학] 무리함수 그래프 완벽 정복: 개념부터 평행이동까지

[고1 수학] 무리함수 그래프 완벽 정복: 개념부터 평행이동까지

시작하며

안녕하세요, 수학쟁이 선생님입니다! 오늘은 고1 수학의 중요한 파트 중 하나인 무리함수에 대해 깊이 있게 탐구해보는 시간을 갖겠습니다. 중학교 때 배웠던 제곱근의 개념을 함수로 확장시키는 과정이라고 생각하면 쉬운데요, 생각보다 훨씬 더 직관적이고 재미있는 단원이랍니다. 포물선을 옆으로 뉘어놓은 모양의 그래프를 그리게 될 텐데, 이 함수가 물리 현상이나 자연의 규칙을 설명하는 데 어떻게 사용되는지 함께 알아보도록 하죠. 그럼, 집중해서 따라와 주세요!

1. 무리식과 무리함수: 기본 개념 다지기

함수를 배우기 전에, 먼저 '무리식'이 무엇인지 알아야 합니다. 간단해요. 근호($\sqrt{\quad}$) 안에 문자가 포함된 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 바로 무리식이라고 부릅니다.

예를 들어, $\sqrt{2x}$, $x + \sqrt{x-1}$ 같은 식들이 바로 무리식이죠.

⭐ 무리식의 값이 실수가 될 조건 ⭐

무리식을 다룰 때 가장 중요한 약속이 있어요. 바로 무리식의 값이 실수가 되려면, 근호($\sqrt{\quad}$) 안의 식의 값이 항상 0 이상이어야 한다는 점입니다. 즉, (근호 안의 식) $\ge 0$ 이어야 합니다. 왜냐하면, 고등학교 수학에서는 특별한 언급이 없는 한 실수 범위에서 생각하기 때문이죠. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없으니까요!

$$ \sqrt{A} \text{ 가 실수가 되려면 } \Rightarrow A \ge 0 $$

예시 문제 1) 무리식 $\sqrt{2x-3} + 1$의 값이 실수가 되도록 하는 x의 값의 범위를 구해보세요.

풀이) 근호 안의 식인 $2x-3$이 0 이상이어야 하므로, 부등식 $2x-3 \ge 0$을 풀면 됩니다.
따라서 $2x \ge 3$, 즉 $x \ge \frac{3}{2}$ 입니다.

이러한 무리식을 포함하는 함수, 즉 $y=f(x)$에서 $f(x)$가 $x$에 대한 무리식일 때 이 함수를 무리함수라고 합니다. 그리고 무리함수의 정의역 역시, 특별한 말이 없다면 근호 안의 식의 값이 0 이상이 되게 하는 실수 전체의 집합이 됩니다.

2. 무리함수의 기본 그래프: $y = \sqrt{ax}$ 파헤치기

모든 무리함수 그래프의 기본이 되는 $y=\sqrt{x}$의 그래프는 어떻게 생겼을까요? 재미있게도 이 그래프는 우리가 잘 아는 이차함수 $y=x^2$과 아주 밀접한 관련이 있답니다.

함수 $y=\sqrt{x}$는 정의역이 $\{x|x \ge 0\}$, 치역이 $\{y|y \ge 0\}$인 일대일대응 함수입니다. 이 함수의 역함수를 구해보면, $x=\sqrt{y}$가 되고 양변을 제곱하면 $y=x^2$을 얻게 되죠. 이때 $x$는 원래 함수의 치역이었으므로 $x \ge 0$이 됩니다. 즉, 무리함수 $y=\sqrt{x}$의 그래프는 이차함수 $y=x^2 (x \ge 0)$의 그래프를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 모양입니다. 포물선을 옆으로 뉘어놓은 모양이 되는 거죠!

네 가지 기본 그래프 모양 (대칭이동 관계)

무리함수 $y = \pm \sqrt{ax}$의 그래프는 $y=\sqrt{x}$를 기준으로 $x$축, $y$축, 원점에 대해 대칭이동한 모양으로 이해할 수 있습니다.

기본형 $y = \sqrt{x}$	y축 대칭 $y = \sqrt{-x}$
방향: 오른쪽 위 정의역: $x \ge 0$ 치역: $y \ge 0$	방향: 왼쪽 위 정의역: $x \le 0$ 치역: $y \ge 0$
x축 대칭 $y = -\sqrt{x}$	원점 대칭 $y = -\sqrt{-x}$
방향: 오른쪽 아래 정의역: $x \ge 0$ 치역: $y \le 0$	방향: 왼쪽 아래 정의역: $x \le 0$ 치역: $y \le 0$

3. 무리함수 그래프의 평행이동: $y = \sqrt{a(x-p)} + q$

기본 그래프만 알면 이제 거의 다 끝났습니다. 우리가 앞으로 만날 대부분의 무리함수는 이 기본 그래프를 평행이동한 것에 불과하거든요.

함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$의 그래프는 함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것입니다.

⭐ 평행이동된 무리함수 그래프의 핵심 ⭐

• 시작점의 좌표: $(p, q)$ 입니다. 기본 그래프의 시작점인 $(0,0)$이 그대로 평행이동한 결과죠.
• 정의역: $a>0$일 때 $\{x|x \ge p\}$, $a<0$일 때 $\{x|x \le p\}$ 입니다.
• 치역: 근호 앞의 부호가 '+'이면 $\{y|y \ge q\}$, '-'이면 $\{y|y \le q\}$ 입니다.

가장 중요한 것은 그래프의 시작점 $(p, q)$을 찾고, 그래프가 네 방향 중 어디로 뻗어 나가는지 판단하는 것입니다!

예시 문제 2) 함수 $y=\sqrt{2x+8}+2$의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구해보세요.

풀이)
1단계: 표준형으로 변환하기
먼저 주어진 식을 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 꼴로 바꿔서 시작점을 찾기 쉽게 만듭니다.
$y=\sqrt{2x+8}+2 = \sqrt{2(x+4)}+2 = \sqrt{2\{x-(-4)\}}+2$

2단계: 그래프 정보 파악하기

• 이 식은 기본형 $y=\sqrt{2x}$의 그래프를 $x$축 방향으로 -4만큼, $y$축 방향으로 2만큼 평행이동한 것입니다.
• 시작점의 좌표는 $(-4, 2)$입니다.
• 근호 안 $x$의 계수(2)가 양수이고, 근호 앞의 부호도 양수(+)이므로 그래프는 시작점에서 오른쪽 위로 향합니다.

3단계: 정의역과 치역 구하기

• 정의역: 시작점의 $x$좌표가 -4이고 오른쪽으로 향하므로, $\{x | x \ge -4\}$ 입니다.
• 치역: 시작점의 $y$좌표가 2이고 위쪽으로 향하므로, $\{y | y \ge 2\}$ 입니다.

4. 개념 확장: 실생활 속 무리함수

무리함수는 단순히 수학 문제 속에만 있는 개념이 아닙니다. 예를 들어, 맑은 날 특정 높이에서 수평선을 바라볼 때 얼마나 멀리까지 볼 수 있는지를 계산하는 함수도 무리함수로 표현할 수 있어요.

지구의 반지름을 약 6370km라고 할 때, 해발 고도가 $x$미터인 곳에서 볼 수 있는 최대 거리를 $f(x)$ km라고 하면, 그 관계식은 대략 $f(x) = \sqrt{12.74x}$ 라는 무리함수로 나타낼 수 있답니다. 높이 올라갈수록 더 멀리 볼 수 있다는 사실이 수학적으로도 증명되는 순간이죠!

마무리하며

오늘 우리는 무리식의 기본 개념부터 시작해서 무리함수의 그래프를 그리고 해석하는 방법까지 배워봤습니다. 어떠셨나요? 생각보다 어렵지 않죠?

오늘의 핵심 요약!

1. 무리식의 값이 실수가 되려면? (근호 안) ≥ 0 이어야 한다!
2. 무리함수 $y=\sqrt{ax}$의 그래프는 이차함수 $y=\frac{x^2}{a}$의 일부를 $y=x$에 대해 대칭시킨 모양이다.
3. 모든 무리함수 그래프는 시작점 $(p, q)$과 네 가지 방향성(오른쪽 위/아래, 왼쪽 위/아래)만 알면 쉽게 그릴 수 있다.
4. 복잡해 보이는 $y=\sqrt{ax+b}+c$ 꼴의 함수는 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 꼴로 변형하여 생각하면 된다.

무리함수는 앞으로 배울 다양한 함수와 미적분의 기초가 되는 중요한 개념이니, 오늘 배운 내용을 꼭 복습하면서 자기 것으로 만들어 주세요. 시작점과 방향! 이 두 가지만 기억해도 절반은 성공입니다. 다음 시간에는 더 흥미로운 수학 이야기로 돌아오겠습니다. 수고 많으셨습니다!